Применяя теперь теорему о кинетическом моменте системы относительно неподвигкной точки О (см. уравнение 213), имеем

5 = ЖЬ

Так как производная есть скорость v, точки К,

v,=MS. (223)

Это равенство выражает теорему Резаля, т. е. скорость, с которой nepeMevjflemcR конец вектора, изображающего кинетический момент системы относительно неподвижной точки О, равна главному моменту внеилних сил, действую/цих на эту систему, относительно той хсе точки.

Так как Ly = const и = const, то вектор OK описывает круглый конус, вращаясь вокруг оси г с угловой скоростью cOj,. Отсюда следует, что вращательная скорость точки К направлена параллельно оси х, как показано на рис, 201, б и по модулю равна

Применяя затем теорему о движении центра тяжести системы (см. уравнение 206), имеем

где /?< - главный вектор внешних сил, которыми в данной задаче являются вес Р и искомые реакции подшипников А и В. Проектируя это векторное равенство и равенство (223) на оси х и г и учитывая, что силы Р, Za и Zb взаимно уравновешиваются, получим четыре уравнения:

1) Mwcx = RI = X + Xs,

2) Mwc, = RT=Za-Z"b,

3) v, = M = -ZaAO~ZbOB,

4) v=MS->aAO-XsOB.

Так как скорость параллельна оси х, а центростремительное ускорение точки С направлено по оси у (от С к О), то f/(-jc = -;,ю,о), Vf = 0, Wc=Wcg = 0. Поэтому предыдущие уравнения принимают вид

Х + Хв = 0, Za-Zb = 0, ZAAO-Z"d)B = JyWw, XjAO-ХвОВО. Из этих уравнений находим;

л = в=0, Za - Zb=~i •

Так как динамические реакции 7" и Zc равны по модулю и направлены противоположно, то они образуют пару с моментом, равным yj,co,(Bg, называемым гироскопическим моментом. Следовательно, обозначая этот момент М, имеем

M, = J,co,co,. (224)

Эта пара лежит в плоскости, в которой расположены векторы 03, и cOj. Учитывая направления векторов Vj, ш, и ю, получаем векторное равенство:

Возникновение реакций и Lb, а также гироскопического момента, обусловленное изменением направления оси АВ собственного вращения гироскопа, называется гироскопическим эффектом.

Пример 165. Турбина, вал которой параллелен продольной оси судна, делает 300 оборотов в минуту: вес вращающихся частей равен 200 кн, а их радиус инерции относительно оси вращения турбины равен 1,5 м. Определить гироскопические давления на подшипники, расстояние между которыми / = 6 м, если судно ловорачивается вокруг вертикальной оси на 15° в сек.

Решение. Обозначая угловую скорость вращения судна вокруг вертикальной оси z через со, а угловую скорость вращения турбины вокруг горизонтальной оси у через ю,, имеем:

я300 in 1 , 2я IS я , ,

ш, = -35- = 10л1/св,с, co, = =j2l/ceK.

По формуле (224) находим гироскопический момент но •

где Р - вес вращающихся частей турбины и г„„-их радиус инерции; поэтому /W,, =-rLco,co, = ?. 2,25. 3X=375 000 н-ж.

Искомые гироскопические давления образуют пару сил, лежащую в вертикальной плоскости, причем момент этой пары равен М, а ее плечо равно Z; следовательно, вертикальное гироскопическое давление на каждый подшипник равно

Л = 315000 (32500 «.

Пример 166. С концом вертикального вала 00, шарнирно соединен горизонтальный стержень ОС, на который свободно насажен массивный цилиндрический каток (бегун). При враще-

нии вала 00, вокруг вертикальной оси z бегун катится без скольжения по горизонтальной плоскости, на которую закладывается измельчаемый материал (рис. 202, а и б). Определить гироскопические реакции в точках О и Л, а также усилие в стержне ОС, если заданы вес бегуна Р, длина 0С = 1, радиус бегуна R и угловая скорость вала ю = const.

Решение. Обозначим угловую скорость собственного вращения бегуна вокруг оси ОС через Wj. Так как качение бегуна по горизонтальной плоскости происходи) без скольжения, то скорость точки А равна нулю; поэтому мгновенная ось вращения бегуна проходит через точки О и Л, а его абсолютная угловая скорость Q направлена по прямой О А, причем Q =

= Mj -f CO.

Построив параллелограмм угловых скоростей, из подобных треугольников ОАО и Оас имеем: АС

откуда ю, =

Теперь по формуле (224) находим гироскопический момент

Рассматривая бегун как однород- ный цилиндр, имеем

и, следовательно,

г = -« Р--2Г-

Гироскопические реакции Zq и в точках О и Л образуют пару сил, момент которой равен- и направлен, согласно формуле (224), по оси X, как указано на рис. 202, а. Отсюда следует, что, во-первых, силы и Zq имеют направления, указанные на рис. 202, а, и, во-вторых.

-со".

/ -2g

Таким образом, полное давление бегуна на горизонтальную плоскость в точке Л равно сумме двух сил: веса Р и гироскопического давления, равного Z, т. е.

Центростремительное ускорение центра тяжести С бегуна направлено вдоль оси г/ от С к О и по модулю равно w = i&. Поэтому, применяя теорему о движении центра тяжести системы,