в данной задаче а = \ момент инерции диска находим по теореме о моментах инерции относительно параллельных осей:

Поэтому

Сравнивая последнюю из этих формул с периодом колебаний математического маятника Г = 2я. / - . где /-длина нити ма-

ятиика, видим, что приведенная длина рассматриваемого физического маятника равна

Задачи типа IV . .

Задачи этого типа, относящиеся к крутильным колебаниям, можно разделить на три группы:

1) свободные крутильные колебания;

2) затухающие крутильные колебания;

3) вынужденные крутильные колебания.

При решении всех этих задач следует составить дифференциальное уравнение вращательного движения твердого тела [уравнение (221)] и затем это уравнение проинтегрировать.

Первая группа

В задачах этой группы приложенный к телу момент пропорционален углу ф, определяющему положение вращающегося тела, и имеет противоположный знак, т. е. М = --Сф, где с-коэффициент пропорциональности. Следовательно, уравнение (221) принимает вид

5 + сф = 0.

Ф--ЙФ = 0,

где й = у;этоесть дифференциальное уравнение гармонических

колебаний, решение которого рассмотрено в главе П. По формулам (127) и (130) находим

Ф = Ф„ cos(kt) + s\n (kt)

Период этих гармонических колебаний равен -

Вторая группа.

В задачах этой группы к вращающемуся телу, кроме момента М = - Сф, приложен еще момент сопротивления, пропор-щюнальный угловой скорости тела, т. е. момент M = - рф, где р - коэффициент пропорциональности.

Поэтому уравнение (221) принимает вид:

Уф = - Сф-РФ

Ф + 7ФЧ-Т = 0.

или ф + 2пф 4-Аф = о, где 2п = ~ и k = j. Мы получили дифференциальное уравнение затухающих к-олебаний (при k>n), решение которого находим по формулам (132) и (133): Ф=ае-" sin (l/fe-п t+a), или

Ф = ав-%1п(/- + а)= •

= ае sin

(1/4Ус-р/+а).

Период этих затухающих колебаний [см. формулу (134)J:

Постоянные а и а определяются по начальным условиям движения тела (по начальному углу Фо и начальной угловой скорости ф„).

Третья группа

В этих задачах, кроме моментов М = - сф и Л4, = - щ, к вращающемуся телу приложен момент /И, выражающийся периодической функцией времени, т. е. изменяющейся со временем, например, по гармоническому закону (по закону синуса или косинуса).

Есди М = Н s\n{pt), где Н и р-постоянные величины, то уравнение (221) имеет вид

/ф-f-д,:р + Сф = Я sin (рО. или ,

Ф [ 2п(р + кц) = h sin ipt),

2n=-J-, k = и /z = .

Здесь мы имеем дифференциальное уравнение 2-го порядка с правой частью, отличной от нуля. Интегрирование такого уравнения рассмотрено в § 3 главы II; его общее решение имеет вид

Ф = ас-" sin iVk-nt Н а) + b sin (pt + P),

ц> = ае -fsin {-yAJc-ix" / + aj+bsin (pt + ).

Второй член в правой части этого равенства выражает вынужденные крутильные колебания. Амплитуда b и начальная фаза р этих вынужденных колебаний, согласно сказанному в § 3 главы II, определяются по формулам:

„ znp

Постоянные a и a определяются no начальным условиям вращательного движения тела.

При p = k=y~, т. е. при равенстве частот свободных

гармонических и вынужденных колебаний, имеем явление резонанса. Амплитуда вынужденных колебаний в этом случае будет

При отсутствии момента сопротивления нужно в уравнениях н формулах третьей группы задач положить ц = п = 0. Тогда дифференциальное уравнение крутильных колебаний имеет вид: Jip+C(p = H sin (pt), а его общее решение

Ф = а sin (А/+ а) + sin (рО,