кривошипу ОС, то ее скорость v. перпендикулярна к ОС и V(. = l(i), поэтому ni(A1Vi-) = MJd). Следовательно,

3 3 2- 3g

Р ,i , 4Р 5Р

И LLz +Lz I (ii-\r L а=щ1 (а.

Задачи типа II

К задачам типа Г1, как было указано выше, относятся такие задачи, в которых сумма моментов всех внешних сил, действующих на систему относительно данной неподвижной оси, например оси Z, равна нулю. В этом случае (см. равенство 216) имеем

L - m (mv) = const.

Следовательно, если обозначим Li°* кинетический момент системы относительно оси z в начальный момент при / = 0, то в рассматриваемом случае имеем

L, = , или 2(mv) = S(m„). (222)

Если в начальный момент система неподвижна, то начальные скорости всех ее точек равны нулю, следовательно, Li" ==0, и в этом случае с,тМ) = 0. (222)

При решении задач второго типа нужно- составить уравнение (222) или уравнение (222) и определить чину, которую требуется найти в данной за даче.

Пример 160. На поверхности круглого однородного цилиндра радиусом г и массы М, который может вращаться без трения вокруг неподвижной вертикальной оси г, имеется ка нал в форме винтовой линии; в этом канале находится шарик (материальная точка) массой т. В некоторый момент, когда система неподвижна, шарик начинает двигаться по винто вой линии под действием силы тяжести, а ци линдр начинает при этом вращаться вокруг оси z в противоположном направлении. На какой угол повернется цилиндр за то время, в течение которого шарик опустится на расстояние, равное шагу h винтовой линии (рис. 197).

Р е ш е н и е. Внешними силами для данной системы, состоящей из цилиндра и шарика, являются их веса и реакции закрепленных точек, через которые проходит ось вращения

него ту вели-2

цилиндра z. Так как моменты этих сил относительно оси z равны нулю и в начальный момент система неподвижна, то применяется уравнение (222), т. е. L = 0, где -кинетический момент данной системы относительно оси z. Этим уравнением и воспользуемся для решения задачи.

Кинетический момент вращающегося цилиндра относительно

оси вращения z равен J/o =---м, где м-угловая скорость

цилиндра (знак минус берем потому, что цилиндр вращается по часовой стрелке, если смотреть с положительного конца оси z).

Если относительную скорость шарика, направленную по касательной к винтовой линии, обозначим о,., а постоянный угол скорости с осью Z-через у, то горизонтальная составляющая относительной скорости, направленная по касательной к цилиндру, по модулю будет равна v.. sin у. Переносная скорость Vg шарика (скорость во вращательном движении вокруг оси г) направлена противоположно горизонтальной составляющей относительной скорости и по модулю равна га. Поэтому горизонтальная составляющая абсолютной скорости шарика равна

у,, sin у-Г(о,

а момент количества движения шарика относительно оси z равен

m(w,. siny-rco)r,

следовательно,

=--g- -I- mr {V,. sm y-ra);

так как = 0, то

--- + m{Vr siny-ra)/- = 0

-\-m) ra = mv,. sin у. (a)

Если угол поворота цилиндра обозначим ф, то

проекция -v абсолютной скорости шарика на ось г, очевидно, равна -wcosy, а потому

=у, = -1;,созу

у sin Y=w,. cosy tgY = - tgY

Следовательно, уравнение (а) принимает вид / М \ dw dz

(~ rd = - mtgydz.

Интегрируя это уравнение и принимая во внимание, что в начальны?! момент Фо = 0 и г„ = 0, получим

Полагая по условию задачи г== - /г, находим искомый угол поворота цилиндра

т tg Y h

Так как между углом наклона у винтовой линии и ее шагом h имеется зависимость tg у = , то ф = "" .

2"+"

Если, например, /И = 6т, то цилиндр повернется иа 90°.

Задачи типа III

В зависимости от внешних сил, приложенных к вращаюш,е-муся твердому телу, задачи типа HI можно разделить на три группы.

1. Главный момент приложенных к телу сил относительно оси вращения есть величина постоянная.

2. Главный момент приложенных к телу сил относительно оси вращения зависит от угловой скорости тела. Этот случай возможен при вращении тела в сопротивляющейся среде.

3. Главный момент приложенных к телу сил относительно оси вращения есть функция угла ф поворота тела, как, например, .это бывает в случае движения физического маятника.

Первая группа

Для решения этих задач нужно составить и затем проинтегрировать дифференциальное уравнение вращательного движения твердого тела (уравнение (221)].

Пример 161. Сплошной цилиндр радиусом г, положенный, как указано на рис. 198, на цилиндрические ролики А и В, вращается с угловой скоростью вокруг своей горизонтальной оси О. В некоторый момент ролики затормаживаются. Через сколько времени после этого цилиндр остановится, если коэффициент трения между цилиндром и роликами равен /, а Z. АО В = 2а.