Решение. Первый способ. В данной задаче имеем систему, состоящую из двух тел: плавучего крана и груза; внешними силами, приложенными к этой системе, являются вес крана Р,

вес груза Р, и вертикальное давление воды, направленное снизу вверх (архимедова сила). Гак как все эти внешние силы вертикальны, то сумма их проекций на горизонтальную ось X равна нулю.

Кроме того, в начальный момент система неподвижна, поэтому, применяя равенство (209), получим

где 0, и Ojjj - проекции на ось х абсолютных скоростей груза и плавучего крана.

о fix, dx,

заменяя v и v на и , где a\ и х-соответственно абсциссы груза и центра тяжести крана, получим:

й dt g dt ~

или, интегрируя,

P,a-, f P,a-, = const = P,x„. Ч- P,x„„

где A,,, и -абсциссы груза и центра тяжести крана в начальный момент, причем, как видно из рисунка,

х„,= -ОЛ sin30° =-4.

В момент, когда стрела займет вертикальное положение, абсцисса л,, груза будет равна перемещению s крана; следовательно, в этот момент имеем

Так как

откуда находим

P,s + P,x,= -4P,-+P, (P,-fP,)s=-4P,,

1 = 0,36 м.

Знак минус указывает на то, что кран переместился влево. Второй способ. Применяя равенство (210), имеем

Лс = const, .

Рис. 194

где -абсцисса центра масс (центра тяжести) данной системы

(груза и крана).

•с m, + m, Р, + Р,

поэтому

Р,л;,+ PjX2 = const.

Таким образом, мы имеем то же уравнение, которое получили выше, при первом способе решения задачи. Из этого уравнения так же, как при первом способе решения, находим искомое перемещение крана.

Пример 157. На горизонтальной платформе весом Р, установлена наклонная плоскость АВ, образующая с горизонтом угол а (рис. 194). По этой наклонной плоскости при помощи лебедки поднимается груз С весом Pj так, что расстояние АС изменяется по закону s = -af.

В начальный момент вся система находится в нокое.

Определить скорость, с которой будет двигаться платформа; сопротивлением движению платформы пренебрегаем.

Решение. Первый способ. В данной задаче мы имеем систему, состоящую из двух тел: платформы и груза С; внешними силами, приложенными к этой системе, являются вес платформы Р,, вес груза Р и нормальные реакции Л/, и рельсои в точках D и Е. Так как все эти силы вертикальны, то сумма их проекций на горизонтальную ось х равна нулю, т. е. ХО; поэтому, учитывая, что в начальный момент систем.» неподвижна, и применяя равенство (209), как в предыдущей задаче, получим

f + f .. = 0, (а]

Где и, и -проекции на ось х скоростей платформы и груза.

Если поступательное движение платформы принять за переносное движение, то относительным движением груза будет его перемещение по наклонной плоскости АВ. Следовательно, вектор

относительной скорости груза направлен параллельно АВ и по модулю равен

us , v, = = at.

Вектор Vg переносной скорости груза равен скорости платформы о,, параллельной оси х; поэтому

По теореме сложения скоростей имеем: 2 = Ve+ Vr=v, -fa/cosa. Поэтому равенство (а) перепишется так:

v, + (v,+atcosa) = 0.

Отсюда находим

at COS а

Р, + Р,

Знак минус указывает на то, что платформа будет перемещаться влево.

Второй способ. Абсцисса центра масс данной системы равна

с т, + т, Р, + Р,

где л;, и х-абсциссы центров тяжести платформы и груза. Следовательно, на основании равенства (210) имеем

Р,л;, + Р,л;, = const. Но, как видно из рисунка, х = х, - /- scosa, а потому Р,л;, + Pj (л;,-I --s cos а) = const.

Дифференцируя это равенство по /, получим: или

(Р, + Р,)§ = -Р, а/cos а,

отсюда

dx, р, ,

d = .= -p;fp;«cosa.

Задачи типа III

Задачи типа HI, в которых требуется определить реакции связей, также можно решать двумя способами:

1) по теореме о количестве движения системы [по уравнениям (202)];

2) по теореме о движении центра масс [по уравнениям (206)]. Пример 158. Мотор, вес которого равен Р,. прикреплен

к фундаменту болтами.

Вес ротора мотора равен Р, а его центр тяжести смещен относительно оси вращения на расстояние ОС = е. Ротор вращается по закону ф = . Определить вертикальное давление мотора на фундамент и горизонтальное усилие, приходящиеся