Главная Промышленная автоматика.

ную ось, т. е. применяются равенства (207) или (207)- (Задачи 951-957, 970-974).

III. Задачи на применение теоремы о количестве движения системы или о движении центра масс к определению реакций связей (задачи 958-963, 975-980).

Задачи типа I

Задачи этого типа можно решать двумя способами: либо при помощи формул (199) и (200), либо при помощи формул (205) и (206).

Пример 155. В механизме, изображенном на рис. 192. кривошип 00=r весом Р, вращается в вертикальной плоскости вокруг неподвижной оси о с постоянной угловой скоростью (D и приводит в дви,кение колесо / радиусом г и весом Р, которое катится без скольнсения по неподвижному колесу радиусом 2г. Центр тяжести колеса / находится в точке О,. Прямолинейный стержень АВ весом Pj,. соединенный шарниром А с колесом /, движется поступательно в вертикальных направляющих.

Найти проекции количества движения этой системы на координатные оси X и у (рис. 192).

Решение. Первый способ. ;0,анная система состоит из трех тел: кривошипа 00,, подвижного колеса / и стержня АВ. Поэтому К = К, + К, + К,, где К„ К„ кривошипа, колеса / и стержня АВ.

На основании формулы (205), применяемой к каждому из этих тел в отдельности, имеем

= f c.-bf с, + о,. (а)

где Vq, V(, -соответственно скорости точек О,, С, (центра тяжести кривошипа) и (центра тяжести стержня).

Так как точки О, и С, принадлежат кривошипу вращающемуся вокруг оси О, то векторы о, " "о,- перпендикулярны к OOj и по модулю равны:


Рис 192

/С, -количества движения

И 1/„=га).



•Так как стержень АВ движется поступательно, то V(. = Va, причем вектор направлен по АВ.

Чтобы найти скорость точки А, принадлежащей колесу /, заметим, что мгновенный центр вращения этого колеса находится в точке С касания колес lull. Следовательно,

Va ас 2г sill ф „ .

где ф = сй/-угол поворота кривошипа; отсюда

= 2V() sin ф = 2пй sin (cot).

Теперь из равенства (а) находим искомые проекции количества движения данной системы:

Р, Р г(а cos ф / Р, , г, \

i<«-=-jVc, СОЗф--ОоСОЗф=--2+Pj =

= -(Р,+2Р),

f<y = J с, sin Ф + -f - Vq, sin ф + Уд = • - со sin cot + + - гсо sin (Dt + Пй sin (ut = (Р, -]- 2Р + 4Р,).

Второй способ. На основании формул (204) имеем:

= I Хс. + + у 0,. Л4у с. = f Ус, + Ус, + iyo.-

где М - масса всей данной системы, состоящей из трех тел; С-центр масс этой системы. Из рис. 192 находим:

л: =-ОС, sin ф=-sin со/, л:, = 0, Ус, = -ОС, cos ф= - у cos со/, Ус=: ЛС - 0А = 1 - 2г cos(ut, где

/=лс2 = const,

лго, = -00, sin ф = -г sin (Dt,

Уо,==-00, cos ф=-г cos со/.

Следовательно,

л/f Рл j Р 4 , п , г, п\ г. sin (Hi

Мхс= -g-sinco/-sin с)/ = -(Р.-ь2Р)--2- ;



= -coscat-r cosm/ + (/ 2r cos cot) =

= -/. + 2 + 4,) + /. Отсюда на основании формул (205) получаем: /< = Жх, = =(Р,+2Р). K, = Mi/,=(P.+2P + 4P,).

Задачи типа П

К задачам второго типа относятся задачи, в которых сумма "проекций всех внешних сил на данную неподвижную ось, например, на ось X, равна нулю. В этом случае (см. равенство 207) имеем

л; = S = const.

Следовательно, если обозначим /С„ количество движения системы в начальный момент (при / = 0), то Кх = Ках или

2тУ. = 2;™ох- (208)

Если в начальный момент система неподвижна, т. е. начальные скорости всех ее точек равны нулю, то в этом случае /Со. = 0 и, следовательно,

mv, = Q. (209)

Так как I(x==Mvc (см. равенства 205), то при /< = const имеем:

Uc, = (wc>=o.

Если в начальный момент скорость центра масс системы равна нулю, то (ucj*=o = 0 и. следовательно, vc = 0 или = 0; отсюда

Хс=--со nst = хс„, (210)

т. е. абсцисса центра масс системы в рассматриваемом случае постоянна.

Задачи второго типа можно решать двумя способами:

1) на основании равенств (208) и (209);

2) с применением равенства (210).

Пример 156. Определить перемещение плавучего крана, поднимающего груз весом Р. = 20 кн, при повороте стрелы крана на 30° до вертикального положения. Вес крана Р = 200 «:«, длина стрелы 0Л = 8 м. Сопротивлением воды пренебречь (рнс. 193).





0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 [108] 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139

0.0052